Если речь идет о Конституционном суде РФ, то это название во всех случаях следует писать с прописной (заглавной) буквы.
Согласно орфографическим правилам и словарной кодификации верно: Верховный суд Республики Башкортостан. Однако в «Справочнике по оформлению правовых актов в Администрации Президента Российской Федерации» зафиксировано написание Верховный Суд Республики Башкортостан. Это дает основание различать написание в официальных нормативных правовых актах и в других сферах.
Аббревиатура склоняется: борьба со СПИДом.
Литературная норма: обжалованы в суде.
Запятая не ставится.
Правильно: Страшный суд. См.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011.