Правильно: подход к обработке.
Такого слова нет в словарях. Есть компетентный.
Запятая нужна. Определения однородны, потому что синонимичны.
Правильно: Первый крестовый поход.
Запятая перед союзом и в этом сложносочиненном предложении, части которого объединены обстоятельством во время занятий, не нужна.
Постановка двоеточия возможна.
Правильно слитное написание.