Правильно: письмо отправлено Лие, Юлии. Допустим вариант Лии.
Если это официальное название салона, то правильно: в Салоне красоты Юлии Вороновой.
См. ответ на вопрос № 240491.
Верен первый вариант.
Правильно: действующего. В письменной деловой речи принята норма согласования с названием должности – директор (безотносительно к полу).