Правильно: 1 марта — День кошек в России.
Верно: Применение газов для терапии кошек.
Первый вариант корректен.
Слова сама по себе не изменяются по падежам: нет кошки, которая гуляет сама по себе, вижу кошку, которая гуляет сама по себе.
Правильно: мурлычет, мурлыкает.
Пожалуйста, сформулируйте вопрос.
Если определение относится к обоим существительным, то сочетание будет восприниматься однозначно с определением в форме множественного числа.
Корректно: альпинистские кошки.
Вы совершенно правы: Кошку от человека отличает наличие шерсти или Человека от кошки отличает отсутствие шерсти. Хотя, смеем предположить, что в реальности различие состоит не только в этом.
Правильно: кошечка. Но если нужно употребить именно указанный вариант, то верное написание: кошонка.