Запятая нужна: Оттолкнув меня, он взял трубку. Отделяется запятой деепричастный оборот.
Правильно: Он мерзок мне.
Правильно: у меня болит; сочетание мне болит невозможно.
Запятую нужно поставить.
Обособление необходимо, правилен второй вариант.
Верно: Сестра теряет терпение и, будучи суетливой, бежит навстречу.
Нет, это существительное с предлогом в. Одним из значений слова область является 'место расположения какого-л. внутреннего органа человека или животного; участок тела человека или животного'. Примеры: грудная область; боль в области сердца. Подробнее см. "Большой толковый словарь" под ред. С. А. Кузнецова
https://gramota.ru/poisk?query=область&mode=slovari&dicts[]=42
Предлог в области существует, он употребляется при указании на сферу, в которой что-либо распространяется или рамками которой ограничивается. Синонимичен предлогу в сфере, оба предлога употребляются в книжной речи. Пример:
В области преподавания иностранных языков в последнее время наблюдается определенное оживление.
При обособлении (выделении запятыми с двух сторон) сравнительного оборота: Он всегда сражался, как лев, и полностью полагался на меня.
Лексическое значение оборота — ‘хорошо, должным образом’.
С морфологической точки зрения это наречное выражение, представляющее собой застывшее придаточное, давно переставшее быть придаточным. В предложении это обстоятельство образа действия.
