Правильно: остров Татышев.
Допустимы оба варианта. У слов, называющих консервы из некоторых видов морской рыбы, названий употребляемых в пищу морских моллюсков, ракобразных и под., которые не встречаются в Центральной России в живом виде и стали известны сначала как экзотическое блюдо, наблюдается колебание в выборе варианта одушевленности или неодушевленности: есть, заказать устицы - устриц, мидии - мидий, креветки - креветок, крабы, крабов, трепанги - трепангов, омары - омаров, кальмары - кальмаров, улитки - улиток. Но сравните: есть раков, так как они хорошо известны в живом виде.
Правильно: Остров свободы.
Правильно: остров Татышев (от имени Татыш).
Правильно: остров Татышев.
Да оба слова пишутся с большой буквы: Лосиный Остров.
Нейтрально (не в энциклопедии): Крысий остров.
Правильный первый вариант.
