Верно: Что бы ни стало причиной разочарования клиента, нести ответственность нужно вам.

Правильно: во что бы то ни стало.

Правильно: 2 февраля стало моим первым рабочим днем. 2 февраля = второе число месяца февраля, поэтому согласование по среднему роду.

Возможно и единственное, и множественное число сказуемого. Выбор зависит от того, какой смысл вкладывается в сочетание. Варя с медвежатами стали ходить по квартирам: Варя и медвежата – равноправные участники действия. Варя с медвежатами стала ходить по квартирам: основное действующее лицо – Варя, а медвежата – сопутствующие производителю действия лица (морды).

Правильно: «Отрадное» стало последней станцией метрополитена, открытой в Советском Союзе. 

В данном случае лучше использовать форму множественного числа (первый вариант).

Нужна запятая после стало быть: Она никуда не спешит, но не знает усталости, ей неведома жалость, а стало быть, она в конце концов и победит.

Слово боязно отмечено в словарях как разговорное, оно может быть использовано в непринужденной устной речи и при передаче такой речи на письме: мне стало жутко и боязно вдруг. Обратите внимание: слово вдруг не обособляется.

Слово боязливо употребляется как наречие, например: боязливо поглядывать по сторонам; шел, боязливо озираясь. Сказать мне стало боязливо нельзя.