Правильно: памятнику Ленина нашли новое место. Подробное объяснение см. в «Словаре трудностей».
Такая пунктуация возможна, если подразумевается, что понятие "сегодня" представляет собой мечту.
Правильно: в Новом Саде. «Словарь грамматических вариантов русского языка» Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской (М., 2008) указывает, что если существительное употреблено в сочетании с прилагательным, то в нейтральном стиле письменной и устной речи выбирается форма на -е, ср.: в Хабаровском крае, в телевизионном мосте, в головном мозге, в длительном отпуске.
Тату – несклоняемое существительное среднего рода: такое новое тату.
Правильно: начать – начну, начнёшь, начнёт и т. д.; в прошедшем времени – начал, начала, начало,начали.
Правильно: в новом году.
