Правильно: Праздник Весны и Труда. Такая фиксация — и в официальных документах (см. Трудовой кодекс Российской Федерации), и в лингвистических источниках (например, в справочнике Д. Э. Розенталя «Прописная или строчная?»). Такое написание соответствует правилу: с большой буквы пишется первое слово в названии праздника и слова, которым приписывается особый высокий смысл.
Возможны оба варианта.
В названии административного органа какого-либо учреждения, предприятия правильно: управление чего (ср.: управление качества, управление финансов, управление кадров).
Оба варианта возможны.
В некоторых контекстах такое сочетание может использоваться, но не всегда.
Запятая нужна: союз и здесь присоединительный (=причем).
Краткие причастия пишутся раздельно с не.
Между неоднородными приложениями запятая не ставится.
