Верное управление: дан старт чему. Однако со словом университет сочетание неудачно.
И. п. Жан; Р. п. и В. п. Жана; Д. п. Жану; Т. п. Жаном; П. п. (о) Жане.
Это разные причастные обороты.
Запятая нужна перед обращением: Привет, Джин.
Верно: спроси совета.
Возможны оба варианты. Раздельное написание подчеркивает отрицание, слитное — утверждает неясность.
Жан не склоняется, правильно: Жан-Поль Готье, Жан-Поля Готье.
Необходимы пробелы до и после тире.