Верны оба варианта.
См. также: http://new.gramota.ru/spravka/trudnosti?layout=item&id=36_200&v=full
Корректно без предлога: курс живописи.
Не ищите во всем логику. Сложившаяся литературная норма: молоть, но мелю, мелет, мелют.
См. ответ на вопрос № 302171.
Правильно: мелет кофе, мелет чушь, мелет вздор.