Правильно: не делает того, что хочет. Подробные рекомендации по выбору падежа при отрицании см. в «Письмовнике».
Верно: Пусть делает как считает нужным.
В данных названиях ни кавычки, ни прописные буквы не нужны.
Сделать прививку, укол – нейтральный, общеупотребительный вариант. Поставить прививку, укол – профессионализм, характерный для речи медиков.
Вылазят - просторечное слово.
Оба варианта фразеологизма употребительны. К сожалению, источник назвать пока что не можем.
Со значением "разрыхлять бороной" употребляются два глагола - боронить и бороновать. Поэтому возможны варианты: боронят и боронуют.