Можно сказать: школа пополнилась двадцатью учениками.
Название обычно не склоняется, если род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают. Верно: музей, школа села Прасковея.
Здесь верно: Награждается ученица 3 класса МОУ "Школа № 29".
Правилен второй вариант.
Корректно со строчной: 22-я школа воздушных стрелков-радистов.
Московская электронная школа как название организации, электронного ресурса, проекта правильно писать с заглавной буквы. Но теоретически это сочетание может быть использовано и не как название, тогда его нужно писать со строчной буквы.
Корректно: в Ижевске, в г. Ижевске.
Верно: работает в ГБОУ Школа.
Дело не только в наличии родового слова, но и в его грамматическом роде. Верно: школа села Красноусольского, школа деревни Табынское, школа деревни Ташлы.