Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.

Если это не имя собственное (не название фильма, например), то никаких оснований для написания с большой буквы нет. Правильно: социальная сеть.

Современные словари русского языка рекомендуют писать оба слова в названии плацдарма под Новороссийском с большой буквы: Малая Земля (см., например: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011). Но в книге Брежнева (и в названии, и в тексте) слово земля написано с маленькой буквы: Сегодня мне хочется рассказать о сравнительно небольшом участке войны, который солдаты и моряки назвали Малой землей. Корректно сохранять такое написание, если речь идет о книге.

Такое сокращение возможно.

"ТЬ" является показателем неопределенной формы (инфинитива), а предшествующий гласный входит в основу глагола.