Едва ли сочетание (быстро)развивающийся мир является терминологическим сочетанием, указывающим на тип мира (сравним: вечнозеленые растения — тип растений, крупномолотый перец — тип приправы), а значит, здесь возможно только раздельное написание наречия и причастия: быстро развивающийся мир.
Верно с маленькой буквы: карта мира.
Запятая между двумя частями сложносочиненного предложения, каждая из которых представляет собой назывное предложение, не ставится.
Сочетание старый как мир является устойчивым, запятая не ставится.
Возможные варианты: любимой экранизации романа "Война и мир" и любимой экранизации "Войны и мира".
Возможны варианты: доступ к чему-либо, доступ куда-либо. Не вполне ясно, каков смысл фразы.
Доступнее - нейтральный вариант, доступней - разговорный.
