Сделать укол – нейтральный, общеупотребительный вариант, поставить укол – профессионализм, характерный для речи медиков.
Притяжательное прилагательное куклин в литературном языке неупотребительно.
Слово кукла не вполне ясное в этимологическом отношении. Лингвисты предполагают, что это слово заимствовано из новогреческого языка, хотя высказывались мнения и о славянском происхождении этого слова.
Ставить укол – профессионализм медиков. Общеупотребительно и стилистически нейтрально: делать укол.
Это слово пишется с прописной буквы.
Варианты равноправны.
Согласно «Грамматическому словарю русского языка» А. А. Зализняка, слово кукла в значении 'игрушка' может употребляться и как одушевленное, и как неодушевленное существительное. А вот кукла в значении 'человек' (куклой можно назвать бездушного и пустого человека, а также человека, слепо действующего по воле другого) – только одушевленное.
