Верно раздельное написание.
Слова по крайней мере выделяются запятыми как вводные. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".
Слово крайне — наречие, обозначающее высокую степень проявления признака. Сочетание крайне добры вполне нормативно. См., например: Она... неумный и нелепый, но крайне добрый человек [Л. В. Шапорина. Дневник. Том 1 (1898-1945)]; Александр Владимирович крайне добр ко мне и к моим желаниям [Булат Окуджава. Путешествие дилетантов (Из записок отставного поручика Амирана Амилахвари) (1971-1977)] и т. п.
Правильно: крайне невежлив.
Заместитель заведующего дневным отделением.
Слова по крайней мере в данном случае не обособляются: Дело в том, что по крайней мере для некоторых из нас... Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".
Сочетание крайний срок корректно и зафиксировано словарями русского языка. У прилагательного крайний есть оттенок значения 'предельный'. Утверждение, что крайними могут быть только Север и плоть, слишком категорично :)