Мужские фамилии Пак и Король склоняются, женские – нет.

Да, правильно: титул графа, титул короля, но титул "граф", титул "король". Во втором случае слова граф и король являются названиями. 

Мужская фамилия Король склоняется так же, как и соответствующее нарицательное существительное (Короля, Королю и т. д.). Женская фамилия не склоняется.

Мужская фамилия Король по правилам склоняется. 

Мужские фамилии Князь и Король склоняются, женские – нет.

Да, склоняются.

Если предложение приведено полностью, корректно без знаков:  Спортсмен без пьедестала что король без трона.

Виват – междометие, оно имеет значение «да здравствует» и в соответствии со значением не требует постановки после себя знаков препинания: Виват король! (ср.: Да здравствует король!). Впрочем, нельзя не отметить, что  на практике после слова виват нередко ставится запятая.

Да, здесь "короля" - со строчной буквы.