Кажется, слово "вопросы" здесь лишнее. Просто: в своей компетенции или в рамках своей компетенции.
Корректно в ед. ч.
Предлог необязателен, но лучше его оставить, без предлога фраза воспринимается хуже.
Правильно: по вопросам, (каким?) входящим...
Постановка запятых не требуется.
Коммуникабельный – общительный (коммуникабельные люди). Прилагательное коммуникативный соотносится с существительным коммуникация в лингвистическом значении «передача средствами языка содержания высказывания» (коммуникативная функция языка).
Верно: повышать компетентность (уровень знаний), расширять компетенцию (круг вопросов, полномочий). Оба сочетания не являются заменой сочетанию "повышать квалификацию".
Запятые в этом предложении не требуются.