Нет, женское имя Айгуль не склоняется.

В образцовой литературной речи предпочтительно: глава МИД. В разговорной речи возможно: глава МИДа.

Сочетание туристическое агентство корректно. Однако в законодательстве сегодня используется либо сокращенный вариант (турагент, турагентство, туроператор, туроператорская деятельность), либо слово "туристский", но не в сочетании со словом "агентство". 

См. также: 193">http://www.gramota.ru/spravka/trudnosti/36193

Домен – группа узлов Интернета, объединенная по тематическому, географическому принципу, принадлежности частным лицам или организациям и т. п., входящая в иерархическую структуру Сети; часть адреса ресурса, отделяемая точками и определяющая область его регистрации.

Если имеется в виду государственное учреждение, то верно: агентство по спорту.

Не вполне понятно, что имеется в виду.

Произносится аге[нс]тво и допустимо аге[нц]тво.