Правильно: обгонять непришедшее лето. Не пишется слитно с причастиями при отсутствии пояснительных слов.
Оба варианта правильны.
Оба варианта правильны.
В этом сложноподчиненном предложении слово что является союзным словом — частью сочетания что такое, с помощью которого придаточная часть присоединяется к главной. Придаточная часть внутри главной выделяется запятыми. В составе придаточной части сочетание что такое играет роль сказуемого при подлежащем лето.
Возможны оба варианта.
Это не сложноподчиненное предложение, придаточной части в нем нет.
Возможны оба варианта в зависимости от оттенков смысла.
Если слово конкурс стоит не в начале предложения, его следует писать с маленькой буквы, например: Объявлен конкурс "Лето прошло".
Нет, кавычки не нужны.
