Орфографически верно: XIII Зимний (зимний) Суриковский фестиваль.
С прописной буквы пишутся имена прилагательные на -ский, входящие в состав наименований — имен собственных, в том числе имеющие значение «имени того-то», «памяти того-то». Так же пишутся названия политических, культурных, спортивных и других мероприятий, имеющих общегосударственное или международное значение.
Правильно: погружение в недра знаний.
Такое употребление вполне возможно. Например: ...сын Лаврентия Берии написал об отце обаятельную книгу: добродушный человек, преданный семьянин... [Александр Терехов. Каменный мост (1997–2008)].
Возможны оба варианта.
Для ответа необходимо понимать, что в данном случае называется базой знаний.
Здесь лучше: ко Дню знаний.
Все варианты возможны, однако предпочтительнее со словом "обеспечение".
Верно: требующих ремонта.