Оба варианта возможны, при этом первый - с оттенком значения "жду конкретное задание".

На -ии — Какалии. Грузинские фамилии на -ия склоняются так же, как существительные на -ия: мелодии, Данелии, Какалии.
Подробнее о склонении фамилий вы можете прочитать здесь.
 

Корректура – это исправления, связанные с правилами правописания, опечатками, версткой и т. п., которые вносятся перед публикацией. Если исправления касаются содержания, то верно: корректировка технического задания.

Нет, формулировка некорректна.
Можно выполнить задание или заполнить карточку. 

Правильно: Губернатор Республики Хакасия. 

Определение, относящееся к двум или нескольким существительным – однородным членам, ставится в форме единственного числа, если по смыслу сочетания ясно, что определение относится не только к ближайшему существительному, но и к последующим. В противном случае употребляется форма множественного числа. При написании первая авария, кража, растрата поймет ли читатель, что прилагательное первая относится ко всем трем существительным? Если в этом есть сомнения, лучше написать первые.

Это бессоюзное сложное предложение, между его частями должно стоять тире, а не дефис: Щёлкнешь – золотой дымок запарит. Мы не выполняем домашние задания. Что именно в разборе у Вас вызывает сложность?

Правила склонения фамлиий см. в рубрике «8familii/">Азбучные истины».

Имя склоняется как существительное женского рода на -ия, например линия. Корректно: задания для Анании. См. также «Словарь русских имен».