Это исторически родственные слова, но в современном языке они уже не являются однокоренными.
2. Правильно: на травУ, на дОску.
В сочетании уезжаю жить в Москву существительное зависит от глагола уезжаю: уезжаю (куда?) в Москву.
Запятая перед как не требуется.
Тире нужно, оно вносит ясность в смысл предложения.
Приказать здесь в значении "сделать наказ". Наказ живущим "Живите долго" - это последние слова, которые обычно произносил умирающий.