В подписи верно: Игорь, риелтор.
Не склоняются.
Эта фамилия склоняется так же, как, например, существительное пуля: Бируля, Бирули, Бируле, Бирулю, Бирулей, о Бируле. Так склоняется и мужская, и женская фамилия.
Нужна запятая перед обозначающие.
Корректная пунктуация: Наш читатель, преподаватель музыкальной школы Иванов Игорь Иванович рассказал историю своей жизни.
Оба варианта правильны.