Правильно: скучаем друг по другу.
Глагол подходить в значении "оказаться соответствующим кому-, чему-л., годным для кого-, чего-л." не требует предлога, например: это платье подходит маме. Поэтому верно: Подходим идеально мы друг другу.
Лучше: претензий друг к другу не имеют.
Возможно: мы не друг для друга (стараемся).
Вы правы, исходный вариант фразы требует доработки.
Допустимо и слитное, и раздельное написание.
Правильно: Давай будем писать друг другу письма.