Это разговорное слово нужно заключать в кавычки, если необходимо подчеркнуть его стилистическую чуждость контексту, в который оно помещено. Также кавычки могут показать читателю, что это слово не из лексикона автора, что это заимствование из чужой (например, детской) речи. Ср.:
Побегать с друзьями, посмотреть телевизор, а домашка ― дело десятое, ― рассказывал в 2000 году его отец, Андрей Мстиславович.
В идеале, ученик должен понимать, по какой схеме будет выполняться «домашка», чтобы не тратить время на выяснение принципа подготовки к следующему уроку.
Верно: функционально-силовой, кардиоупражнение, кардиотренировка.
Вариант упражнение номер сто шестьдесят семь корректен, так писать можно.
Предпочтителен второй вариант. Обычно в сочетании с конкретным существительным – искать что, а в сочетании с отвлечёнными существительными – искать чего.
Здесь верно: в тетрадке.
Вы правы: второе предложение противоречит первому, текст (инструкция) выглядит не вполне продуманным. Предложения лучше переформулировать.
Третий вариант представляется предпочтительным: Не удалось объединить домашний интернет с вашим вторым номером на одном лицевом счёте.
См. здесь: Безударные личные окончания глаголов.
Сокращение до инициала допустимо, но не является общепринятым.
