Название «Виват, гардемарины» корректно: в русском языке существует только междометие виват 'да здравству(е/ю)т!'.

В терминологическом значении используются только полные формы прилагательного: вырожденная матрица и невырожденная матрица. Употребление кратких форм следует считать ошибкой. Ср. употребление прилагательного в сочетаниях простые числа, число пять — простое, но ошибочно *число пять просто.

По правилам эта фамилия склоняется, верно: Городская больница № 4 им. Н. П. Гуллы.

В этом предложении приложение с союзом как явно имеет значение причины и должно быть обособлено: Конечно, Мурманск, как город-герой, северный форпост нашей Родины, не мог остаться в стороне.

Увы, это именно опечатка.

Это слово еще не зафиксировано в нормативных словарях, говорить о правильном написании рано. Но множественное число в этом значении должно образовываться с окончанием -а: мастера́ (как веб-мастера́).

Сама фраза неверна, ее следует изменить: Неисправности не влияют на проведение опытных работ.

Слова с частью бэк- пишутся через э. На орфографическом академическом ресурсе «АКАДЕМОС» представлено несколько сложных слов с частью бэк- именно в таком написании (бэк-вока́л, бэкгра́унд, бэк-ка́нтри, бэкхе́нд, кешбэ́к и др.). Слово кеш и сложные слова с этим корнем пишутся через е. Свойства звука в слове языка — источника заимствования не всегда определяют написание слова в русском языке.

Во второй части подлежащее что, сказуемое — должно остаться в сердце. После двоеточия продолжается первая часть, в которой подлежащее представлено однородным рядом с обобщающим словом: всё — уважение, милосердие, сострадание.

Сказуемое должно остаться в сердце состоит из четырех компонентов: 1) модальный компонент, выраженный кратким прилагательным должно, 2) нулевая формальная связка (в прош. вр. она окажется выраженной), 3) инфинитив, в который превратилась бывшая полузнаменательная связка (ср.: Это навсегда останется в моем сердце), 4) именной компонент. В университетской грамматике такое сказуемое квалифицируется как сложное четырехчленное, в школе — как составное именное (можно добавить: усложненное).

Очевидно, должны склоняться обе части: зол-уносов, золам-уносам и т. п. Хотя представить себе множественное число существительного зола довольно трудно (разве что в контекстах типа разные виды зол).