В обоих случаях запятая не нужна.
Верно: Поздравляю Вас с Днем медицинского работника.
Правильно с прописной буквы.
Правильно: 9 июня объявлено днем траура.
Правильно: с днем рождения; в разговорной речи и поэтических текстах допустимо: с днем рожденья.
Правильно: было.