АЙДА. [тат. айда]. Разг. I. межд. Употр. как решительный призыв, приглашение отправиться куда-л. Ребята, а. за яблоками! А., мужики, домой. II. нареч. в функц. сказ. Обозначает быстрое перемещение куда-л. Сел на машину - и а. в город! Наберём полные карманы каштанов - и а. обратно. 

Да, это предложение. На вопрос «Почему?» в школе обычно отвечают так: оно содержит законченную мысль, выражает сообщение. В науке предложение определяется прежде всего через понятие предикативности. Весело теплой весной – предложение, т. к. содержит предикативную основу, обладающую значением времени и реальности происходящего.

Знаки препинания расставлены верно.

В предложном падеже: о веселье.

Да, запятые поставлены правильно. Слова должно быть  в значении 'вероятно, наверное, возможно' являются вводными и обособляются.

Правильно.

Правильно: (присоединиться к) веселью.

Возможна форма единственного и множественного числа сказуемого.