Мужская фамилия Цай склоняется: назначить Цая Виталия Валерьевича... Подробнее см. в «Письмовнике».
Нужно поставить не тире, а запятую.
Трейлер – отрывок из фильма, использующийся как анонс.
Запятая не требуется.
Это разные термины (их значения есть, например, в "Википедии").
Это равноправные варианты.
Да, все верно.
Фамилия отца и сына склоняется одинаково. Вы правильно образовали падежные формы этой фамилии.
Запятая перед обращением Виталий обязательна. Верно: в продолжение телефонного разговора...
Обратите внимание, что в деловых письмах не рекомендует заменять слова доброго дня, доброго утра и т. п. одним словом доброго.