Это сочетание можно писать строчными, без кавычек: горячая линия.
Сочетание горячая линия корректно писать без кавычек: это сочетание уже не воспринимается как новое, необычное, непривычное. Возможно: организация работы горячей линии.
Нормативны оба варианта.
Как и раньше: горячий кофе – предпочтительный вариант, отвечающий строгой литературной норме, горячее кофе – вариант, допустимый в непринужденной разговорной речи.
Различие в склонении будет наблюдаться только в в. п. мн. ч.: вижу горячие головы (неодуш.) - вижу горячих голов (одуш.). Здесь возможны колебания в склонении.
Двоеточие уместно.
Согласно электронному орфографическому словарю (в окне «Проверка слова» можно набрать, например, *церковь) правильно: первоиерарх Русской зарубежной православной церкви.
