При склонении изменяется только вторая часть этого названия: из Сьерра-Невады, в Сьерра-Неваде.  Прилагательное: сьерра-невадский (но слитно: сьерраневадцы).

Это разные имена, хотя имя Егор (Егорий) является производным от Георгия.

Кавычки не нужны. Прозвища и псевдонимы пишутся без кавычек (в том числе и сетевые псевдонимы).

Правильное написание - с одной Н.

Предпочтительно: реки Томи.

Словари фиксируют написание «газель» (см., напр.: В. В. Лопатин, И. В. Нечаева, Л. К. Чельцова. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2007).

Вы написали верно: название поселка не нужно склонять, если оно располагается после родового наименования (после слова поселок).

Существительное бюст в значении «скульптурное изображение головы и верхней части человеческого тела (по грудь или по пояс)» управляет родительным падежом: бюст кого (чей) — бюст Пирогова, бюст Пушкина, бюсты Гете и Шиллера, бюст героя. Часто встречающееся неправильное управление с дательным падежом (бюст Пушкину) возникает на основе ложной аналогии со словом памятник.

Корректны оба сочетания, выбор может зависеть от контекста, например: вручается награда благородному герою; ему передали награду для благородного героя.