По основному правилу тире нужно. Тире может не ставиться в простых по составу предложениях разговорного стиля.
На наш взгляд, ошибки нет.
Верно: Сестра теряет терпение и, будучи суетливой, бежит навстречу.
Запятая перед и не нужна.
Указанная запятая нужна. Лучше: Следите за своей речью и увидите, что люди станут ценить вас как собеседника.
Пунктуация корректна.
Русское имя Ренат происходит от лат. renatus (прич. от гл. renascor) — возродившийся. Вероятно, итальянское Ренато восходит к тому же корню.
Следует писать слитно, со строчной буквы: незнайка.
В этом предложении подлежащее и сказуемое выражены инфинитивами, а в таких случаях между ними нужно тире: Не замечать охлаждения друзей — значит мало ценить их дружбу.