Корректно: ...погода в продолжение недели стояла сухая и тёплая. Это прозводный предлог.
Возможны оба варианта, с тире и без него.
Запятая не нужна.
Правильные варианты помогает выбрать знание падежных окончаний. Каждый из примеров (кроме последнего, правильно: при взаимодействии) следует рассматривать в контексте. В первом, четвертом и пятом примерах могут быть формы как винительного, так и предложного падежа. Во втором и третьем примерах это может быть как падежные формы существительных, так и предлоги. От этого зависит и выбор окончаний. Подробно о склонении существительных см. в пособии Е. И. Литневской (тип «пение»).
Правильно: в продолжение. Это производный предлог. Обратите внимание: в Вашем предложении запятая не нужна.
Здесь верно: в продолжение телефонного разговора.
Если имеется в виду, что обсуждение некоторой темы будет продолжено на онлайн-трансляции, то знаки препинания в предложении не требуются.