Эти сочетания корректны.

Оба варианта верны, хотя несколько различаются по смыслу.

Ставить эту запятую нет оснований. Обстоятельства с предлогом из-за не требуют обособления.

Раньше, действительно, говорили по-другому. И не только эти слова. Дело в том, что все живые естественные языки со временем меняются.

Написание слов можно проверять в наших электронных словарях (окно «Искать на Грамоте», набрать, например, *лечебница).

Запятая не ставится, поскольку части сложносочиненного предложения объединены общим второстепенным членом (в тот день).

Вариант за водой, за грибами общеупотребительный и стилистически нейтральный, вариант по воду, по грибы уместен в разговорной, в народно-поэтической речи.

Вариант ходить за водой стилистически нейтральный, вариант по воду уместен в народно-поэтической речи.