Возможны варианты написания: Рег. палата (графическое сокращение, произносится полностью) и Регпалата (аббревиатура, произносится сокращенно).
Возможны варианты пунктуации: На пике своей активности, а точнее, после выборов молодежная палата прекратит свое существование. На пике своей активности, а точнее после выборов, молодежная палата прекратит свое существование. На пике своей активности, а точнее – после выборов, молодежная палата прекратит свое существование. См. «Справочник по пунктуации» (примечание 3 к пункту 2).
1. Да, аналогично.
2. Верно: Британская империя; империя.