Верно: ежиный нос и нос ежа.
Запятая не нужна (ср: ели что угодно, ели всё).
Правильно: ...уверены в мэрии.
Правильно: в Ваших словах много лжи.
В русском языке имя Ежи не склоняется. Правило таково: не склоняются мужские и женские имена и фамилии, оканчивающиеся на гласный -и.
Е-жик.
Такое написание сложилось исторически. В древнерусском языке буквы ж и ш обозначали не твердые непарные звуки, а мягкие. Закономерно после них писали и. Звуки отвердели, а написание не изменилось. Правила только фиксируют сложившиеся в языке нормы.
В современном языке это слова с разными корнями.