Если имеется в виду "праздничное мероприятие, посвященное Петрову дню", то уместно использование кавычек.
Предложение корректно.
Запятая нужна: То левой, то правой лапой медведь запихивал хворост в берлогу.
Можно передать такое значение и при помощи кавычек.
Запятая перед как нужна.
Можно так: музейная экспозиция "Петр I".
Инициалы разделяются пробелами.
Мужская фамилия Петрик склоняется: Петрика, Петрику и т. д. Женская фамилия Петрик несклоняема.