Имя куклы Барби пока не перешло в разряд нарицательных, как, например, петрушка, и пишется с заглавной буквы без кавычек, см. словарную фиксацию. В сочетании играть в Барби по аналогии с играть в куклы имя используется в переносном значении, как название игры. Пока и при таком употреблении заглавную букву нужно сохранять. Подобные примеры в практике письма встречаются, но они немногочисленны.
Правильно: резанный на куски батон.
Корректно: до верха. Но: наполнить банку доверху.
Заглавная и прописная буква — это одно и то же (большая буква). Маленькая буква называется строчно́й. Правильно как раз со строчной: крыловские басни.
Верны оба варианта.
Запятые расставлены верно, только не хватает пробела перед оштрафовав.
Оба варианта верны.
Предпочтительно: Барин со всеми его имениями себе не принадлежит.
