Двоеточие не требуется: Между тем к «Уралу» присоединились молодые воспитанники клуба Иван Мельник и Семен Помогаев, выступавшие в минувшем сезоне на правах аренды за «Динамо».
При слове семья нерусская фамилия обычно сохраняет форму единственного числа: семья Бай.
Верно (о городе Саратове): ...никаких Саратовов.
Верно: семье Васильевых.
Поскольку слово употреблено в необычном, переносном значении, которое не фиксируется большинством нормативных словарей, то уместно будет написать его в кавычках: "семья".
Правильно: благодарность объявляется семье Ивановых.
Это сложноподчиненное предложение с придаточным присоединительным. Союзное слово что (в данном случае — с предлогом и в родительном падеже) вмещает в себя содержание главной части. Бессоюзным предложение станет, если заменить после чего на после этого.
При слове семья иноязычная фамилия обычно ставится в форме единственного числа: семье Граф.
