Верно: ходатайство о чём-либо, поэтому: ходатайство об обучении.
Приведите, пожалуйста, более обширный контекст.
По основному правилу следует ставить двоеточие. На практике вместо двоеточия часто пишут тире.
Двоеточие не нужно.
Такое употребление – ошибка.
Правильно: обучение (чему?) написанию изложения.