Выражение решать тест употребляется в разговорной речи, но его можно встретить и в методической литературе, посвященной формам тренировочных и проверочных заданий в самых разных учебных и профессиональных сферах. Наряду с этим оборотом, используются словосочетания написать тест, сдавать тест, справляться с тестом и т. п. Очевидно, что слово тест многозначно и именует не только способ, с помощью которого определяется уровень знаний, умений и навыков человека, но и те задания, какие предлагаются к решению. Резюме: тематика, стилистические и смысловые особенности высказывания (текста) могут располагать к тому, чтобы в нем оказалось уместным обсуждаемое выражение. Несомненно, стоит принять во внимание и существование развернутого варианта, а следовательно, есть возможность лексического выбора: решать тестовые задания или решать тест.

Правильно без точки после кавычек, поскольку прямая речь оканчивается знаком конца предложения, в данном случае вопросительным. 

Как правило, эти прилагательные взаимозаменяемы (представляют собой словообразовательные варианты).

Тавтологии нет, есть плеоназм (лексическая избыточность словосочетания). Специалист по определению грамотный, то есть "обладающий необходимыми сведениями в своей области". Лучше сказать: хороший, квалифицированный специалист.

Такое сочетание возможно.

Запятая нужна.

Вариант для виду имеет разговорный оттенок. Вариант для вида стилистически нейтральный.