Верно: трек не доигрался.
Правильно: кладу трубку.
Возможно: ответить, отклонить вызов. Но все приведенные Вами сочетания корректны и в том случае, если речь идет о мобильных телефонах (здесь переносное употребление). Например, сочетание на проводе! зафиксировано словарями в значении 'у телефона, слушаю вас', необязательно при этом телефоны должны соединяться проводами.
Сложность в твердом или мягком произнесении согласного перед гласным? Правильно мягкое: т[р']ест.
Оба варианта корректны.