Нужно согласовать в падеже: в Республике Карелии.
Правильно: попугай Кеша (ср.: кот Васька, собака Каштанка). Слово попугай не является частью имени.
Слово республика при употреблении вне полного названия государства пишется со строчной: Недавно нашу республику посетили с официальным визитом...
Следует писать все сочетание строчными буквами.
Сочетание северодвинская роспись пишется строчными.
Справочники указывают, что названия республик согласуются со словом республика, если они оканчиваются на -ия и -ея, т. е. склоняются (такова грамматическая норма). Однако в официальной речи эти рекомендации не соблюдаются; названия республик, выступающие в функции приложения, как правило, не изменяются по падежам: в Республику Северная Осетия – Алания, по Республике Южная Осетия.
Предложения в скобках следует писать с большой буквы.
