Для точного ответа требуется контекст. Скорее всего, кавычки нужны, так как словарное значение слов живой уголок — "специальное место (обычно в учреждении), где содержатся животные, птицы", а в Вашем случае эти слова используются в особом, условном значении. Кавычки точно нужны, если Вы хотите подчеркнуть ироническое значение этого сочетания.
Форма множественного числа возможна.
Сочетание правительственная телеграмма пишется с маленькой буквы.
Запятая не нужна.
Корректная пунктуация: Мы решаем все проблемы не выходя из дома, через портал.
Запятая поставлена правильно. Обороты, присоединяемые предлогом несмотря на, обычно обособляются (за исключением тех случаев, когда оборот входит в состав сказуемого или тесно связан с ним по смыслу).
Если оборот содержит оттенок причинного значения (как педагог = потому что я педагог), то запятая ставится.
С прописной пишется только первое слово: Страна чудес, Страна знаний.
С прописной (большой )буквы в названиях праздников пишется только первое слово.
Корректно: Замкадье (от МКАД).
