Предпочтительно: не спросив... разрешения.

Эти сложные синтаксические конструкции, встречающиеся в разговорной речи, интересны тем, что в них часть как зовут которого зависит и от глагола не знаю, образуя с ним изъяснительное придаточное с союзным словом как, и от существительного парень, образуя с ним определительное придаточное с союзным словом который. Пунктуация в таких конструкциях не кодифицирована, но, расставляя в них знаки препинания, можно найти опору в справочниках. Прокомментируем оба примера.

1. Мне понравился парень, которого не знаю, как зовут. Главная часть не знаю находится внутри придаточной части которого как зовут. В таких случаях запятая обычно ставится только после главной части (см. «Справочник по русскому языку. Пунктуация» Д. Э. Розенталя, раздел 21, п. 2).

2. Мне понравился парень, как зовут которого – не знаю. Придаточная изъяснительная часть как зовут которого предшествует главной части не знаю. Для её интонационного отделения ставится тире (см. «Справочник по русскому языку. Пунктуация» Д. Э. Розенталя, параграф 38.1).

Таким образом, предлагаемое Вами пунктуационное оформление конструкций представляется корректным. 

Современной орфографической норме отвечает написание разыскной, хотя раньше верным признавалось написание через О (розыскной было весьма странным исключением из правил, о котором в самих правилах не говорилось, поэтому в орфографических словарях последних лет это исключение устранено). Об истории этого слова см. также в ответе на вопрос № 187553.

Верно: надеть памперс ребенку.

Считаем вариант возможным, однако с дательным падежом: служба здоровью.

Правила обособления дополнений, обстоятельств, выраженных существительными с предлогами, относятся к тем пунктуационным правилам, которые подчеркивают смысловые взаимоотношения частей предложения-высказывания. Поскольку смысловые оттенки речи могут быть разнообразными, то и знаки, ориентированные на их передачу, допускают вариантность. Именно поэтому не приходится говорить о жесткой обязательности выделения / невыделения запятыми тех или иных оборотов. Слово «обычно» подчеркивает, что в большинстве контекстов оборот с предлогом кроме выделяется запятыми. Но можно предположить, что в каких-то ситуациях запятые будет лишними, помешают автору выразить свою мысль.

Правильно раздельное написание: не использованный (пишем раздельно, т. к. есть зависимые слова; с одиночным причастием не пишется слитно).

Предлог со фонетически закономерен перед словами, начинающимися с сочетаний [с, з, ш, ж] + согласная или с согласной [щ]: со ста, со славой, со звездой, со шкафа, со жгутом, со щами, со зверем, но с зайцем.

Также предлог со употребляется перед формами с начальными сочетаниями [л, ль, р, м] + согласная: со лба, со мной, со льдом, со ртом; также перед сочетаниями [в] + согласная: со вторника, со всеми, со второго.