В принципе можно использовать прописную букву для выделения слов, которые употребляются в особом, высоком значении. Но злоупотреблять этим не следует.

Рекомендуем писать: Сэвил-роу.

Правильно: по организации и сопровождению.

В документах, если это название употребляется вместо официального, прописная буква обязательна. Также и в публицистике, если нужно подчеркнуть, что речь идет о конкретном музее.

Предложение некорректно. Возможный вариант: Приглашаем вас принять участие в выставке и посетить экспозицию...

Предложение стилистически небезупречно. Лучше: Это были отборочные соревнования перед турниром "Название".

Кавычки не требуются.

Название Фили склоняется (вспомните: совет в Филях). Правильно: выехать из Филей.

Да, это название склоняется, Вы написали верно.

Названия спортивных обществ, футбольных, хоккейных и др. клубов заключаются в кавычки (исключая аббревиатурные названия: ЦСКА, СКА): «Локомотив», «Зенит», «Спартак» и др. Поэтому кавычки нужны: матч «Зенит» – «Спартак». Но если эти названия употребляются не в тексте, а, например, в таблице, схеме, перечне и т. п., кавычки могут опускаться.