Корректно: Если клиент не прервал звонок, но не возобновил разговор, то оператор может спросить: «Я могу еще чем-то помочь вам?»  — и, при молчании клиента, прервать звонок. Обратите внимание, что при передаче устной речи местоимение вы, даже обращенное к одному лицу, пишется со строчной буквы.

Корректно: кое-что таки... подправила. Здесь частица таки соотносится по смыслу не с местоимением (кое-что), а со стоящим в конце предложения глаголом (подправила). Ср.: кое-что я бы таки подправила.

Сочетание не вполне корректно. Согласный с кем-чем – придерживающийся одинакового с кем-л. мнения, образа действия: я с тобой вполне согласен, согласен с вашим предложением. Возможный вариант: отвечает духу времени.

Корректно: Конечно, многим в своей жизни, карьере и творчестве я обязана отцу, его влиянию, общению с ним как с глубоким, безумно интересным человеком и как с ярким, неповторимым художником.

Приведенная Вами фраза некорректна, хотя союзное слово который может быть отделено от слова, к которому относится придаточное предложение. Придаточное может примыкать к слову с определением в постпозиции, например: Левинсон обвел молчаливым, влажным еще взглядом это просторное небо и землю, сулившую хлеб и отдых, этих далеких людей на току, которых он должен будет сделать вскоре такими же своими, близкими людьми, какими были те восемнадцать, что молча ехали следом. Второстепенный член предложения может стоять в начале придаточной части: Валерия – так звали девушку, от тоски по которой я сбежал из деревни в Москву. 

В этом случае слово надеюсь вводное (с модальным значением «предположение, неуверенность»). Если части сложносочиненного предложения имеют общее вводное слово, запятая между ними не ставится (см. пункт 4 параграфа 30.2 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя). После присоединительного союза (в начале самостоятельного предложения) запятая обычно не ставится, так как союз тесно примыкает к следующему за ним вводному слову: И надеюсь, я записала их все и это достоверная информация на все сто.