Незадолго означает «не за много времени до чего-либо, перед чем-либо». Поэтому сочетание незадолго после того неправильное. Можно сказать вскоре после того или некоторое время спустя.
Литературная норма: с пЕтель. Но в поэтической речи возможны отступления от литературной нормы.
Запятая нужна. Это сложное предложение (две грамматические основы: позвоните и дверь откроется), между его частями перед союзом И ставится запятая (вместо запятой возможно тире, если необходимо интонационно выделить вторую часть предложения).
В значении "поблагодарить просто так" верно: сказать спасибо ни за что.
Корректно: специалист по экономической безопасности.
Мужская фамилия Петросян склоняется (Петросяна, Петросяну и т. д.), женская остается несклоняемой.
Верно слитное написание существительного: причину неотражения.
Запятя не требуется. Объяснение с примерами см. в «Справочнике по пунктуации».
Расстановка знаков препинания зависит от смысла и интонации. Можно написать без знаков препинания. Однако слова на этот раз уже его дома могут выступать в роли присоединительного члена предложения (который содержит добавочное сообщение), тогда перед ними следует поставить тире.
